English+GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Lipschitz-stetige Funktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Lipschitz-stetige Funktion</h1>

</header>

</div>

Die Lipschitzstetigkeit, auch Dehnungsbeschränktheit, ist ein Begriff aus dem <a href="Mathematisches_Teilgebiet" class="mw-redirect" title="Mathematisches Teilgebiet">mathematischen Teilgebiet</a> der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a>. Es handelt sich um eine Eigenschaft einer <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>, daher spricht man meist von lipschitzstetigen Funktionen (beziehungsweise von Lipschitz-stetigen Funktionen). Die Lipschitzstetigkeit ist eine Verschärfung der <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a>. Benannt ist diese Eigenschaft nach dem Mathematiker <a href="Rudolf_Lipschitz" title="Rudolf Lipschitz">Rudolf Lipschitz</a>.

Anschaulich gesprochen kann sich eine lipschitzstetige Funktion nur beschränkt schnell ändern: Alle <a href="Sekante" title="Sekante">Sekanten</a> einer Funktion haben eine <a href="Steigung" title="Steigung">Steigung</a>, deren <a href="Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betrag</a> nicht größer ist als die Lipschitzkonstante. Die Menge aller lipschitzstetigen Funktionen wird Lipschitz-Raum genannt.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Verallgemeinerungen der Lipschitzstetigkeit sind die <a href="H%C3%B6lderstetigkeit" title="Hölderstetigkeit">Hölderstetigkeit</a>, die lokale Lipschitzstetigkeit sowie die <a href="Lokale_H%C3%B6lderstetigkeit" title="Lokale Hölderstetigkeit">lokale Hölderstetigkeit</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0b0f3bb13b685a26a6106e7190aa7ba94e513f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }" loading="lazy"> heißt lipschitzstetig, wenn eine Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\in \mathbb {R} _{\geq 0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\in \mathbb {R} _{\geq 0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb6fb7547567d3520729c00b45fed3ce32d93771.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.434ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L\in \mathbb {R} _{\geq 0}}" loading="lazy"> existiert, sodass

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfa85613ea3bf84eb7ab66268f06877107e9ae45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.34ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa90d40ad82baf20d4192af3fecb699db4abdf7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.321ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> gilt.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,d_{X})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,d_{X})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b63a9cf5929b2fe7fca007865e043bb9004c21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,d_{X})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (Y,d_{Y})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Y,d_{Y})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bce9785740aaefa247497db61b92d4a58720b9f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.312ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (Y,d_{Y})}" loading="lazy"> <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrische Räume</a>.

Eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f986e95e93b70de25a0084daf075cb02c3ccae8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> heißt lipschitzstetig, falls es eine reelle Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> gibt, sodass

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d_{X}(x_{1},x_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca6140d56740d229e5a40f0f003e8996baff04b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d_{X}(x_{1},x_{2})}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> wird Lipschitzkonstante genannt und es gilt stets <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9eb39f0e313410fa2796328ef20c135be099c5ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.844ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L\geq 0}" loading="lazy">. Anschaulich gesprochen ist der Betrag der Steigung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> nach oben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> beschränkt. Ist eine Funktion lipschitzstetig, so sagt man auch, sie erfülle die Lipschitzbedingung.

Eine Abschwächung der Lipschitzstetigkeit ist die lokale Lipschitzstetigkeit. Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f986e95e93b70de25a0084daf075cb02c3ccae8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> heißt lokal lipschitzstetig, wenn es um jeden Punkt in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf diese Umgebung lipschitzstetig ist. Eine Funktion, die nur auf einer Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subset X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subset X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/826569be03f873b81cdc6f12637ef5520c369d21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.822ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\subset X}" loading="lazy"> definiert ist, heißt lipschitz- oder lokal lipschitzstetig, wenn sie lipschitz- oder lokal lipschitzstetig bezüglich der metrischen Räume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,d_{X}|_{A})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,d_{X}|_{A})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32fe782eaa1dcfa0b286d7fb785cd89ca849a526.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.539ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A,d_{X}|_{A})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (Y,d_{Y})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Y,d_{Y})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bce9785740aaefa247497db61b92d4a58720b9f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.312ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (Y,d_{Y})}" loading="lazy"> ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Lipschitzstetige Funktionen sind lokal lipschitzstetig (wähle ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> als Umgebung und stets <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> als Lipschitzkonstante). Lokal lipschitzstetige Funktionen sind stetig (wähle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta =\varepsilon /L}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta =\varepsilon /L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46c74a8fdcd5a10ad8f76d79403a61a608f2a572.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta =\varepsilon /L}" loading="lazy"> in der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy">-Definition der Stetigkeit), und entsprechend sind lipschitzstetige Funktionen <a href="Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit" title="Gleichmäßige Stetigkeit">gleichmäßig stetig</a>. Daher ist Lipschitzstetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto {\sqrt {x}}}">

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto {\sqrt {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ff11e46692c41071ab325fbaec90705e75aebcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.081ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto {\sqrt {x}}}" loading="lazy"> zwar <a href="H%C3%B6lderstetigkeit" title="Hölderstetigkeit">hölderstetig</a> mit Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e308a3a46b7fdce07cc09dcab9e8d8f73e37d935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/2}" loading="lazy"> und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht lipschitzstetig (siehe Beispiel).

Nach dem <a href="Satz_von_Rademacher" title="Satz von Rademacher">Satz von Rademacher</a> ist eine lipschitzstetige Funktion <a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a> <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbar</a>. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht lipschitzstetig sind, z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto x^{2}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64f2fcadbd3a391447cfa0c4c6faeb5c1cd70e97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.225ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto x^{2}}" loading="lazy">. Eine differenzierbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e242155e2ea3b458bbd0ecf2fb74dec406967831.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.675ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be76bfb8815cfac58724a82349962daa6e5fa930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.819ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}" loading="lazy"> ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Für eine lipschitzstetige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon (X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon (X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c91c1e988f55471624d5134ad8c92c379a0345c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon (X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y})}" loading="lazy"> ist der Quotient</li></ul>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29fa604ea93e5e2e95df1a05844b5bedd43d4f19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.318ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3d754184c7c67784f713353b403da31b310ce03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.687ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\in X}" loading="lazy"> durch jede Lipschitzkonstante von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> <a href="Beschr%C3%A4nktheit" class="mw-redirect" title="Beschränktheit">nach oben beschränkt</a>. Für lokal lipschitzstetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.</dd>

<dd>Daher ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/972965f41326a60c0c47be81b271ffbc231e180e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.257ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2159a46cc4bbf43fa8ac0fc605d91960d9b50aa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.209ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}" loading="lazy"> wegen

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mpadded>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {|f(x_{1})-f(0)|}{|x_{1}-0|}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}_{1}}}\,{\xrightarrow {x_{1}\searrow 0}}\,\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebe2630e92f5bae07f985ca2aac411182209da69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:31.605ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {|f(x_{1})-f(0)|}{|x_{1}-0|}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}_{1}}}\,\xrightarrow {x_{1}\searrow 0} \,\infty }" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig, jedoch nicht lokal lipschitzstetig und folglich auch nicht lipschitzstetig.</dd></dl>

<ul><li>Für die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38132af5ea7cd916293fe93f29187bd461a5e270.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.997ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=x^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92746066d0381ea6189ffc725768840f81d83ba3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.737ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x)=x^{2}}" loading="lazy"> folgt mit</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L:=\max _{x_{1},x_{2}\in [a,b]}(|x_{1}+x_{2}|)=2\max {(|a|,|b|)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3764adcb4f297b2565892d6056085b472719ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.103ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle L:=\max _{x_{1},x_{2}\in [a,b]}(|x_{1}+x_{2}|)=2\max {(|a|,|b|)}}" loading="lazy">,</dd></dl></dd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |g(x_{1})-g(x_{2})|=|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}|=|x_{1}+x_{2}|\cdot |x_{1}-x_{2}|\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6793a24b30507eb9c86608ad80af653a549d23dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:64.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle |g(x_{1})-g(x_{2})|=|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}|=|x_{1}+x_{2}|\cdot |x_{1}-x_{2}|\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Das heißt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist eine Lipschitzkonstante für diese Funktion auf dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[a,b\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[a,b\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[a,b\right]}" loading="lazy">.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> der Quotient gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x_{1}+x_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x_{1}+x_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/938cc33ce885d84e157910ddfadba61119b36ed5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x_{1}+x_{2}|}" loading="lazy"> ist, folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> nur für einen beschränkten Definitionsbereich lipschitzstetig ist, für einen unbeschränkten jedoch nicht. Die ebenfalls durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=x^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92746066d0381ea6189ffc725768840f81d83ba3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.737ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x)=x^{2}}" loading="lazy"> definierte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/926a8888ada479f404e300131e232ca43f4c867b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.12ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist deshalb nicht lipschitzstetig.</dd></dl>

<ul><li>Die <a href="Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betragsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b02a70ea71009374663bb2332999aece399d3f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.343ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }" loading="lazy">, definiert als</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(x)=|x|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a86fa49f680138f4a33c8dbc2aac3426dbed19cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.2ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(x)=|x|}" loading="lazy">,</dd></dl></dd>

<dd>ist wegen der <a href="Umgekehrte_Dreiecksungleichung" class="mw-redirect" title="Umgekehrte Dreiecksungleichung">umgekehrten Dreiecksungleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bigl |}|x_{1}|-|x_{2}|{\bigr |}\leq |x_{1}-x_{2}|}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bigl |}|x_{1}|-|x_{2}|{\bigr |}\leq |x_{1}-x_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a61ea1331640eb05dfacce30bf22ef6f8153555a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.49ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\bigl |}|x_{1}|-|x_{2}|{\bigr |}\leq |x_{1}-x_{2}|}" loading="lazy"> lipschitzstetig mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a663a4fce526119f73979c749a46ec601880ab94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.844ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L=1}" loading="lazy">, aber sie ist (an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy">) nicht differenzierbar.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung">Anwendung</h2></div>

Lipschitzstetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlicher Differentialgleichungen</a>, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe <a href="Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Satz von Picard-Lindelöf">Satz von Picard-Lindelöf</a>). Selbstabbildungen mit einer Lipschitzkonstante kleiner als eins nennt man <a href="Kontraktion_(Mathematik)" title="Kontraktion (Mathematik)">Kontraktionen</a>. Diese sind wichtig für den <a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">Fixpunktsatz von Banach</a>.

In der <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">Theorie partieller Differentialgleichungen</a> werden <a href="Lipschitz-Gebiet" title="Lipschitz-Gebiet">Lipschitz-Gebiete</a> betrachtet. Diese haben die Eigenschaft, dass ihr Rand, der <a href="Lipschitz-Rand" class="mw-redirect" title="Lipschitz-Rand">Lipschitz-Rand</a> genannt wird, lokal durch eine lipschitzstetige Funktion beschrieben werden kann.

Die Störanfälligkeit von Neuronalen Netzen (beispielsweise im Kontext von <a href="Adversarial_Example" class="mw-redirect" title="Adversarial Example">Adversarial Examples</a>) kann durch die Größe der Lipschitzkonstante plausibilisiert werden<a href="#cite_note-2">[2]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lipschitz-Raum">Lipschitz-Raum</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e4f3ab6b74bfe84a9f1eab9616b35699f47cd75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.757ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy"> (oder allgemeiner <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(X,\,d_{X}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(X,\,d_{X}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8443987851e69b6a8d4b70d16f506abe319862f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.052ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(X,\,d_{X}\right)}" loading="lazy"> ein metrischer Raum), so wird die Menge der reellwertigen lipschitzstetigen Funktionen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> gelegentlich mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3d1ed8d7b92b2016c728f09f2952ce2456a9eac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy"> bezeichnet.

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e4f3ab6b74bfe84a9f1eab9616b35699f47cd75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.757ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy"> (oder allgemeiner für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4538114b7e232be1bd1d0d774e97f5c43236518a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.975ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> mit der <a href="Euklidischer_Abstand" title="Euklidischer Abstand">euklidischen Metrik</a>) ist jede <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affin-lineare Funktion</a> lipschitzstetig. Auf einem allgemeinen metrischen Raum sind immerhin alle <a href="Konstante_Funktion" title="Konstante Funktion">konstanten Funktionen</a> lipschitzstetig. Insbesondere ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3d1ed8d7b92b2016c728f09f2952ce2456a9eac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy"> nicht leer und enthält die konstante <a href="Nullfunktion" title="Nullfunktion">Nullfunktion</a>.

Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,\,g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,\,g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1df072525e5aa0f967ddfe52eb620cbed0027777.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f,\,g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b87bc1622689bc998795834cd65eecdb4955a785.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.874ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }" loading="lazy">, so gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \,f\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \,f\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80bdebe75cd041f2a8584d08efc6cebd214faec7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.043ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda \,f\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31de110ce5c8b2b3cc7035156bf9acf18ab667de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.257ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f+g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy">. Damit ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3d1ed8d7b92b2016c728f09f2952ce2456a9eac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy"> ein reeller <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a>, ein <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenraum</a>.

Ist die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> zudem noch <a href="Beschr%C3%A4nktheit" class="mw-redirect" title="Beschränktheit">beschränkt</a>, so gilt außerdem für das <a href="Funktion_(Mathematik)#Verknüpfung" title="Funktion (Mathematik)">punktweise Produkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\cdot g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\cdot g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d46ee9d28c3470e720f9f17feeeea2b6b04e718.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.096ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\cdot g\in \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy">. Damit wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3d1ed8d7b92b2016c728f09f2952ce2456a9eac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Lip} \left(X\right)}" loading="lazy"> zu einer <a href="Algebra_%C3%BCber_einem_K%C3%B6rper" title="Algebra über einem Körper">Funktionenalgebra</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Satz_von_Kirszbraun" title="Satz von Kirszbraun">Satz von Kirszbraun</a> über die Fortsetzbarkeit lipschitzstetiger Funktionen</li>

<li><a href="Bilipschitz-%C3%84quivalenz" title="Bilipschitz-Äquivalenz">Bilipschitz-Äquivalenz</a>: Eine bijektive, lipschitzstetige Abbildung zwischen metrischen Räumen mit lipschitzstetigem Inversen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 136, 212</li>

<li>Konrad Königsberger: Analysis 1. 2-te Auflage, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 80</li>

<li>Wolfgang Walter: Analysis 1. 7-te Auflage, Springer 2004, ISBN 978-3-540-35078-1, S. 44, 45</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Lipschitz-Stetigkeit" class="extiw external" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Lipschitz-Stetigkeit">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Lipschitz-Stetigkeit</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lipschitz_condition">Lipschitz condition</a> in der <a href="Encyclopaedia_of_Mathematics" title="Encyclopaedia of Mathematics">Encyclopaedia of Mathematics</a> (abgerufen am 2. Dezember 2009)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/LipschitzCondition">Lipschitz condition.</a> In: <a href="PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>. (englisch)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Walter_Rudin" title="Walter Rudin">Walter Rudin</a>: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991. ISBN 0070542368, S. 41, 420.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Shayan Aziznejad, Michael Unser: <cite style="font-style:italic">Deep Spline Networks with Control of Lipschitz Regularity</cite>. In: <cite style="font-style:italic">ICASSP 2019 - 2019 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP)</cite>. IEEE, Mai 2019, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1109/icassp.2019.8682547">10.1109/icassp.2019.8682547</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lipschitz-stetige+Funktion&rft.atitle=Deep+Spline+Networks+with+Control+of+Lipschitz+Regularity&rft.au=Shayan+Aziznejad%2C+Michael+Unser&rft.btitle=ICASSP+2019+-+2019+IEEE+International+Conference+on+Acoustics%2C+Speech+and+Signal+Processing+%28ICASSP%29&rft.date=2019-05&rft.doi=10.1109%2Ficassp.2019.8682547&rft.genre=book&rft.pub=IEEE" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-07-14" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Lipschitz-stetige_Funktion&oldid=246751591">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>